ARTE y MATEMÁTICAS: ¿polos opuestos?

El arte, tan espiritual, tan liberal, tan intuitivo. Las matemáticas, tan rígidas, tan exactas, regidas por reglas. Las apariencias pueden ser engañosas.

Muchos dicen que las personas del mundo del arte no se entienden muy bien con las matemáticas, y tal vez sea así en apariencia. Pero si uno se pone a pensar, no hay forma humana de que una escultura quede proporcionada sin hacer cálculos; para construir un edificio, ni hablar: no basta con la inspiración y la creatividad del arquitecto, eso tiene que estar respaldado por números, porque si no el resultado puede ser catastrófico; y dentro de una pintura, para que la perspectiva sea creíble y las proporciones parezcan reales, hacen falta conocimientos matemáticos.

Así que tan enemigas no son: más bien aliadas. Y no de ahora. Es una relación que siempre ha existido y que se fue perfeccionando poco a poco, con periodos en los que los artistas se volcaron de lleno en el estudio de las matemáticas y en los que, gracias a lo que consiguieron, se dieron grandes pasos de avance en los modos de representación.

La antigüedad clásica: el hombre que midió con el meñique

Uno de esos periodos fue la antigüedad clásica. Sin esos estudios habrían sido imposibles esculturas tan perfectas, proporcionadas y simétricas como el discóbolo de Mirón o la Afrodita de Praxíteles, ni construcciones tan precisas como el Partenón. En la antigua Grecia era justamente eso lo que se buscaba, y las cosas no caen del cielo. Los conocimientos, tampoco.

Policleto escribió un tratado llamado Canon donde exponía cuáles eran las proporciones ideales para representar el desnudo masculino. Se le considera uno de los primeros artistas matemáticos de la historia y uno de los escultores más importantes de la antigüedad clásica, aunque quizá Fidias sea el más conocido. Suyos son el Doríforo y la escultura de Hera.

Una corrección de fecha: el episodio sitúa el Canon en el siglo IV a.C. y es del siglo V. Policleto estuvo activo entre el 450 y el 420 a.C., y el bronce original del Doríforo se fundió hacia el 440 a.C. La diferencia importa porque lo coloca como contemporáneo de Fidias y del Partenón, no después.

En ese tratado dio a conocer una especie de fórmula matemática para esculpir el cuerpo humano de manera hermosa y proporcionada. Utilizaba la longitud de la falange del meñique como módulo básico para determinar las proporciones del cuerpo entero: multiplicaba esa longitud por la raíz cuadrada de 2 para obtener la segunda falange, y de nuevo por raíz de 2 para la tercera; después tomaba la longitud del meñique, que era la suma de las tres falanges, y la multiplicaba otra vez por raíz de 2 para obtener la palma, desde la base del dedo hasta el cúbito. Y con esa estrategia iba conformando el brazo, el tórax y el cuerpo completo.

Conviene decir de dónde sale esa fórmula, porque el episodio la presenta como si fuera el texto de Policleto y el Canon está perdido: solo se conoce por referencias antiguas.

La reconstrucción es de Richard Tobin, en The Canon of Polykleitos (American Journal of Archaeology, vol. 79, nº 4, octubre de 1975). Tobin propuso que Policleto tomó la falange distal del meñique como módulo y aplicó los conceptos griegos de razón, proporción y symmetría mediante una media geométrica en progresión continua. Lo elegante de su hipótesis es que no exigía calcular nada: bastaba una cuerda con nudos, porque la razón raíz de 2 es la que relaciona el lado de un cuadrado con su diagonal.

No es doctrina cerrada. Andrew Stewart publicó en 1978 The canon of Polykleitos: a question of evidence, cuestionando precisamente hasta dónde permite llegar la evidencia disponible.

Algunos investigadores afirman que en el canon de Policleto se nota una influencia del pensamiento pitagórico, y su tratado sirvió de guía para escultores de la propia Grecia, de Roma y del Renacimiento.

Fidias, el Partenón y el número de oro

Aquí el episodio da el salto que hace todo el mundo: que Fidias usó la proporción áurea para proyectar el Partenón. La proporción áurea se basa en patrones que se repiten en la naturaleza y en algunas figuras geométricas, y también se conoce como Divina Proporción o Número de Oro.

Ese salto no se sostiene, y merece la pena explicar por qué, porque es probablemente el mito más repetido de la historia del arte. Va abajo, en la fe de erratas.

Fue una proporción adorada por los artistas del Renacimiento, porque les venía como anillo al dedo: querían rescatar los ideales de la antigüedad clásica y al mismo tiempo darle fundamento a su arte con hechos científicos.

El Renacimiento: pintores que eran matemáticos

Piero della Francesca no solo fue pintor, sino un experto matemático, al que el historiador Giorgio Vasari llamó el geómetra más grande de su tiempo. Escribió libros sobre geometría del espacio y de la perspectiva tomando como referencia las ideas de Euclides, conocido como el padre de la geometría, que fundó la escuela de matemáticas de Alejandría.

Vasari cierra la vida de Piero diciendo que sus libros «le han valido con justicia el nombre del mejor geómetra de su tiempo», y antes le reconoce un conocimiento de Euclides tal que entendía las curvas de los cuerpos regulares «mejor que ningún otro geómetra». Sobre Euclides, casi todo lo poco que se sabe de su biografía viene de Proclo y de Pappo de Alejandría, siglos posteriores: fue Proclo, en el siglo V d.C., quien lo situó bajo el reinado de Ptolomeo I, y que trabajara y dejara escuela en Alejandría es una inferencia a partir de Pappo, no un dato documentado.

Lo mejor es que Piero no se quedó en el plano teórico, sino que aplicaba esos estudios en sus pinturas: en obras como el Políptico de San Antonio, el Retablo de San Agustín o el Cristo en la columna se ve un claro interés por conseguir la perspectiva, y sus trabajos ayudaron a otros artistas de su tiempo y posteriores.

Fue el caso de Luca Pacioli, que tiempo después escribió un tratado titulado De la divina proporción, de 1509, sobre el uso de la proporción áurea en el arte. Y ese tratado tuvo un valor añadido: lo ilustraron grabados en madera realizados por Leonardo da Vinci.

Las fechas y los números, que el episodio da con un "si mal no recuerdo" y acierta: Pacioli terminó el manuscrito el 9 de febrero de 1498 en Milán, y el libro se imprimió en Venecia el 11 de junio de 1509. Lleva unas sesenta xilografías a partir de dibujos de Leonardo, que por entonces vivía con Pacioli y recibía de él clases de matemáticas.

Son quizá las primeras ilustraciones de sólidos geométricos reducidos básicamente a una armazón de aristas, para demostrar la perspectiva. Un sólido geométrico es un cubo, una pirámide, cualquier figura con tres dimensiones. En ese tratado, Leonardo dibujó por primera vez figuras como el rombicuboctaedro, mostrando solo sus aristas superpuestas para dar idea de perspectiva.

Confirmado, y es el mérito técnico que más se le reconoce a esas láminas: son las primeras ilustraciones de poliedros en forma de "aristas sólidas". El grosor de las aristas deja ver de un vistazo cuáles están delante y cuáles detrás, mientras las caras huecas dejan mirar a través, hasta la estructura del reverso. Lo que no está claro es si esa forma la inventó Leonardo o si dibujaba del natural una serie de modelos de madera con aristas macizas diseñados por Pacioli.

Y ya que se menciona a Leonardo, está el Hombre de Vitruvio, con su clara relación con las matemáticas: representa el cuerpo humano centrado en un círculo y un cuadrado, mostrando que la figura humana, en sus proporciones correctas, tiene mucho que ver con las dimensiones de esas dos figuras.

Durero, o el artista que no paraba de estudiar

Otro que tuvo mucho que ver con las matemáticas fue el alemán Alberto Durero, que hasta un libro sobre poliedros publicó, quizás animado por los trabajos de Piero della Francesca y Luca Pacioli, porque Durero viajaba a Italia. En ese libro representó poliedros desplegados, siendo uno de los primeros en hacer ese ejercicio, tan importante para un artista. Y no le bastó: luego publicó otros sobre las proporciones del cuerpo. Eran artistas que no cesaban en sus estudios, convencidos de que las matemáticas eran el camino correcto para una representación exacta del mundo.

El libro es la Underweysung der Messung (Instrucción sobre la medida), Núremberg, 1525, y lo de "uno de los primeros" es exactamente lo que dicen las fuentes: presenta ejemplos tempranos de desarrollos de poliedros, esas figuras desplegadas sobre el plano para poder recortarlas y montarlas, con desarrollos de los sólidos platónicos y de varios arquimedianos. Los libros sobre proporciones del cuerpo son los Cuatro libros sobre la proporción humana, de 1528.

Un ejemplo es su grabado Melancolía I, donde representa a un ser alado sentado en actitud pensativa, pero incluye también un cuadrado mágico y un poliedro truncado: una obra con evidentes referencias matemáticas y que se ha interpretado de mil maneras a lo largo del tiempo.

Melencolia I es de 1514, y el cuadrado mágico esconde una firma: su constante es 34, y en el centro de la fila inferior aparecen los números 15 y 14, es decir, el año del grabado. Está en la esquina superior derecha.

El poliedro es harina de otro costal. El episodio lo llama "trapezoedro triangular truncado"; Erwin Panofsky lo describió como un romboedro truncado, y desde entonces se le llama sólido de Durero. No hay acuerdo: su forma exacta lleva un siglo largo dando lugar a reconstrucciones distintas, lo cual encaja bastante bien con el aire enigmático del grabado.

Las vanguardias del siglo XX

Los estudios continuaron, sobre todo en un periodo candente: las vanguardias artísticas del siglo XX.

El cubismo. Los artistas de este ismo, incluido Pablo Picasso, se estudiaron el libro Ciencia e hipótesis del matemático y físico teórico Henri Poincaré, y en parte gracias a esos conocimientos Picasso pudo, en una obra como Las señoritas de Aviñón, mostrar simultáneamente las figuras de frente y de perfil.

El vínculo es real pero indirecto, y la ruta merece contarse. Quien llevó a Poincaré al Bateau-Lavoir fue Maurice Princet, un actuario de seguros aficionado a las matemáticas que frecuentaba a Picasso, Apollinaire, Max Jacob, Metzinger, Delaunay y más tarde Duchamp. Princet no les puso delante a Poincaré directamente, sino un libro de Esprit Jouffret de 1903, el Tratado elemental de geometría de cuatro dimensiones, que divulgaba a Poincaré y dibujaba hipercubos y poliedros complejos proyectados sobre la página. Los cuadernos preparatorios de Las señoritas de Aviñón muestran esa huella.

La abstracción. El artista ruso Vasili Kandinsky fue uno de los pintores que usó las matemáticas en sus creaciones: en sus trabajos más abstractos empleó muchos conceptos matemáticos e incluyó círculos concéntricos, líneas abiertas y cerradas, triángulos. Y Piet Mondrian, que trató de hacer obras con figuras puramente geométricas —cuadrados y rectángulos— para que pudieran ser entendidas por todos, con la idea, un tanto idílica, de crear un lenguaje universal dentro del arte basado en esas figuras.

El cierre

A quienes dicen que el arte y las matemáticas son polos opuestos, el episodio les recuerda que los polos opuestos se atraen. Y remata leyendo a Galileo Galilei: que el universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas.

La cita es auténtica y está en Il Saggiatore (El ensayador), publicado en Roma en 1623 como respuesta polémica al jesuita Orazio Grassi a propósito de los cometas. El pasaje completo dice que la filosofía está escrita en ese grandísimo libro que tenemos continuamente abierto ante los ojos —el universo—, pero que no puede entenderse si antes no se aprende a comprender la lengua y a interpretar los caracteres en que está escrito; que está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin los cuales es humanamente imposible entender una sola palabra, y sin ellos uno vaga en vano por un oscuro laberinto.

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Fe de erratas: no hay constancia de que Fidias empleara la proporción áurea en el Partenón, y Fidias tampoco lo proyectó. Los arquitectos fueron Ictino y Calícrates; Fidias, escultor, dirigió el programa escultórico y esculpió la Atenea Partenos. En cuanto al número de oro, el matemático George Markowsky dedicó a esta creencia un apartado titulado «Malentendido: los griegos usaron phi en el Partenón» dentro de su artículo «Misconceptions about the Golden Ratio», publicado en The College Mathematics Journal en 1992: las medidas reales del templo dan razones en torno a 2,25, muy lejos de 1,618, las dimensiones varían según la fuente porque cada autor mide entre puntos distintos, y las proporciones documentadas del conjunto responden a la razón 4:9. Que la letra griega phi se eligiera en el siglo XX en honor a Fidias no prueba nada sobre lo que hizo Fidias.